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美雨の部屋へようこそ

ちょっとだけスピリチュアルな世界の旅日記や 文化、歴史のぷち・エッセイを書いています。他にも海外、国内のお気に入りのドラマのあらすじ&感想を勝手気ままに綴っています。

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ピタゴラスの愛した 数の世界と音楽の幾何学 ~数学の先生のお話~

ピタゴラスの愛した 数の世界と音楽の幾何学

コロナ不況で心が鬱になる人が増えているといいますが、コロナは人を繋ぐという側面もあるようです。
コロナという大きな人類の敵と対峙するにあたり、かつてライバルだった国にマスクや医療器具を分け合ったり情報提供し合ったりと、一丸となって コロナと戦おう!とエールを送り合い、地球に世界連邦政府を作ろう!などという動きまで出てきているとか。
小さな友情の芽が、枝を伸ばし花実をつけ、いつか本当に世界連邦政府のヒナ型をつくるかもしれない・・・そんな希望に胸を膨らませている美雨です。
わたくしごとですが、”人を繋ぐ”というテーマに戻ります。不思議な夢を見て、心配でたまらなかった数学教師の恩師と、何十年ぶりで繋がりました。T先生という、東京理科大出身の、背が高いハンサムな先生でした。それ以上に、こころの綺麗な方でした。

そうです、初恋の人です。初恋のひと、というのは一生忘れないんですね。



懐かしい都築先生の問題


でも、いま思えば、私がT先生に教わったことは数式や方程式といった学問の範疇よりはむしろ、音楽や人生の機微、人を思いやる心、といった、哲学そのものだったと思えるのです。登山好きな先生が最初に聞かせてくれたレコードは組曲『山に祈る』。

清水 脩作詞作曲の、実在の遭難者が書き残した最後の手記から採られたもので、山への思慕や山の遭難防止への思いが綴られています。
https://www.youtube.com/watch?v=BTe8ZIjCDEA


このレコードも、何度聞いたことでしょう。
人生の壁、山につまづいたとき、レコードを取り出してはカタルシスしたり勇気をもらったものでした。
何より、先生の笑顔を思い出して・・・

なぜ、なぜ、山に登るのか
山がそこにあるから 

乗り越えられる・・!
と。


ピタゴラス
ピタゴラス 【Pythagoras】 前570ころ~前496ころ


T先生の教えはどことなく音楽的で、ピタゴラスを思わせました。

「弦の響きには幾何学があり、天空の配置には音楽がある」

有名なピタゴラスの言葉。

紀元前の数学者、ピタゴラスの名前は、中学生以上の人には「ピタゴラスの定理」と呼ばれる「3平方の定理」でよくご存知でしょう。

しかし、ピタゴラスに音楽での業績があることを知らない人の方が多いと思われます。
音楽と数学はきっても切り離せない関係にあるのは、音楽家、数学家でなくともよく知られていることですが。

私は数学は苦手なのですが、 数学に憩える人は きっと世界の美を垣間見ることの出来る人だと信じてきました。
昔からそう言われているし、自分でも心底そう実感することしきりなのです。特にバッハの幾何学的音列なんか数学そのものです。

ピタゴラスは、弦楽が好きな人で、当時の手風立琴をヒントに、2つの音の周波数比が簡単な整数の比になるとき、音が協和することを発見しました。

この日記でピタゴラスの音律と狼音に関する協和性を数学的に解き明かしていたらページが幾つあっても足りないのでここでは省きますが、簡単に言うとその調和とはドとソの関係で、この2つの音は、理想的な完全5度音程です。ヴァイオリンやヴィオラ、チェロ、コントラバスも皆そうなっていますね。弦の長さの比を単に整数比で表しただけですから当然と言えば当然なのですが。(笑)


一枚板のレッドヴァイオリン

Bach:バッハ A-mollコンチェルト BGMにどうぞ♪
http://www.youtube.com/watch?v=wbHVIwSMJrw
David Oistrakh - Bach Violin Concerto in A minor (1st mvt.)




❤美雨もバッハ大好きです。↑↓上のコンチェルトの楽譜❤
美雨楽譜001美雨の懐かしい楽譜002
ほんとに良い曲・・! バッハは単に美しいだけでなく、宇宙的


バッハの肉筆楽譜 幾何学のつづら折りみたいなバッハの音楽
数のふしぎ4バッハの肉筆a


数学的にシンプルなものが美しいと感ずるのは音楽に限ったことではありません。

そ  こ  で

ピタゴラスの定理にまつわる話を、ダイジェストして挙げてみました。

 
<ピタゴラスのいろいろな仕事>

ピタゴラスとその弟子たちは「ピタゴラス学派」と呼ばれ、ピタゴラスの発見といわれているもののうち、どれがピタゴラス自身の発見であるのかはわかっていません。ピタゴラスのおもな仕事には、ピタゴラスの定理のほかに次のようのものがあると考えられています。

(1)奇数、偶数の区別
自然数、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…を、奇数と偶数に分類したのはピタゴラスが最初だといわれています。

(2)三角数と四角数の研究 
(3)完全数の研究
完全数とは、自分自身を除く約数の和に等しい自然数のことです。 たとえば、6の約数は1,2、3,6ですが、
6=1+2+3
のように、自分自身を除く約数の和で表せるので、6は完全数です。
28や496が完全数であることを確かめてみましょう。
(4)ピタゴラスの数の研究

ピタゴラスは(3、4、5)のように、 その関係を満たす自然数について研究し、このような数の組は無限にあることを証明しました。このような数の組は、現在ピタゴラスの数と呼ばれています。 ほかにどのようなピタゴラスの数があるか調べてみましょう。

(5)無理数の発見
一辺の長さが1である正方形の一つの対角線の長さ(√2)は、分子、分母がともに整数であるような分数では表すことのできない数であることを発見しました。

(6)三角形の内角の和
三角形の内角の和が2直角であることを証明したのは、ピタゴラスであるといわれています。

(7)正五角形の作図
正五角形の性質を詳しく調べ、黄金比をもとにして正五角形の作図法を発見しました。

(8)正多角形によるしきつめ 合同な正多角形のタイルで平面をすき間なくしきつめるには、どのような正多角形を使えばよいか研究しました。

(9)正多面体の研究
正多面体の研究を行い、正多面体は5つに限ることを発見したといわれています。


ピタゴラスの定理:Pythagorean theorem
数のふしぎ2ピーター・フランクルさん数のふしぎ1
18歳で国際数学オリンピックで金メダルを獲得、ピーター・フランクル数学博士


ちなみに、正多面体は5種類しかありません。

お友達で数学教師のSさんが詳しく解説して下さった記録を ちょっとお披露目すると、

正多面体は、まずは、1辺の長さが等しい正多角形でなければなりません。つまり、正三角形、正方形、正五角形です。

正六角形以上の正多面体はできないんですね。

どうしてか? 正六角形の2辺の角度が120度だから、1つの頂点を中心に三つ辺同士をつけて並べると360度でくっついてしまい立体にできないからです。

あとの説明は長くなるので省きます。

つまり、一つの頂点に三つ以上並べてくっつかないものを探すと5種類しかないことがわかります。

パズルですね。 時間があったらやってみてください。



・・・とのこと。
ということで、是非やってみましょう!!

ちなみに、(9)の正多面体は、プラトンも著作で言及しています。

「プラトン正多面体は5つしか存在しない」を、昔ですが自力で証明したときは、嬉しくて恍惚としました。(笑)
しかし、とてつもなく神秘感の漂う定理ですネ。

数学者の志賀浩二さんも、この定理の神秘感には惚れ惚れしたと語っています。


数の神 pythago
ピタゴラス 【Pythagoras】  100910


ピタゴラスの素晴らしさはそれだけではありません。

ピタゴラスはこの定理を発見したときに、「自分がこの定理を発見できたのは、決して自分一人の力によるのではない。いつも自分を守ってくださるミューズの神様のおかげである。」と言って、お礼の心を表すために、牛100頭を供え、女神に心からお礼を述べたという伝説が残っています。なんと謙虚で敬虔なこころの持ち主でしょう。ちなみに、ミューズとは学問の神、音楽の神であり、music(音楽:ラテン語でmusica)の語源となった女神です。


音楽と切っても切り離せない数の神秘性。即ち、音楽は聴く数学であり、数学は考える音楽であるからかもしれません。

そんな「数」を礼賛した名言をいくつか記してみます。


「数は森羅万象を支配す。」 ピタゴラス
 
「神は幾何学者である。」 プラトン

「神は 数によって万物を創造した。」 ニュートン

「数学は 真実ばかりか 至高の美をも我が物にする。」 ラッセル

「白髪頭になろうとも 数学者の命が果てることはない なぜなら彼らは
 永遠(無限大)に憂身をやつしているからだ。」  詠み人知らず

 

・・・数学者にいわせると、数理というものは芸術に通じるところがあるらしく、「よい証明は美しく、リズムを感じる」ものだそうです。

数学に憩える人は きっと世界の美を垣間見ることの出来る人ですね。
数学を愛している人は皆そう信じていると思います。

T先生が教えてくださった摂理です。






美雨



❤最後まで読んでくれてありがとう❤
数のふしぎ3バッハのおじさん
ポチしてくれるとバッハのおじさん嬉しいなー♪



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Comment

よっこたんさま 

こんばんは!^^
こちらこそいつもご訪問とコメントありがとうございます。
周囲でいろんなことが目まぐるしく変わりなかなかその変化についていけないでいました。でも、コロナ騒ぎの中思わぬ懐かしい方と繋がったり、元気な声を聴けて、またブログをつけたくなりました。そうですね、みんな大変ですが頑張りましょう!

> ブログを拝見させていただき詳しい事が分かりました。 数字&音楽などに関係してて謙虚で素晴らしい方ですね!

ピタゴラスがすごいのは、2500年も前に、「病気は音で治療できる」という知見を得ており、そのことの一部が最近になって医学的なエビデンスが出始めているんですね。ピタゴラスに言わせると光の周波数は下げれば音になり、上げれば意志となるそうです。光と音、そして意志は密接なフラクタル関係にあるそうで、現在イーマ・サウンドという名称で日本から海外へと、最新の研究成果が技術とともに広められています。哲学的ですが今後に期待できそうな素晴らしい内容ですね!?


鷹虎様 

いつも応援ありがとうございます。
いまだに確定申告終わってなくてレシートと格闘しています。
コロナ騒ぎは嫌ですが、確定申告、今年は4/15まで期限が伸びてくれたので少しだけ助かりました。

はい、コロナなんかに負けずドサンコも江戸っ子もみんな一丸となって戦いましょう!

ピタゴラス~ 

こんばんは~美雨さん^^
ご訪問していただきありがとうございます。
こうしてブログが開いたこと嬉しく思います。
ピタゴラス~数学者ということはしっておりましたが
ブログを拝見させていただき詳しい事が分かりました。
数字&音楽などに関係してて謙虚で素晴らしい
方ですね!
毎日コロナで一日が終わりますが日本も全ての
方達が一体となり努力し一日も早く収束したいですね!
美雨さんも大変ですがコロナに負けないように
私もですががんばりましょう~(*´∀`*)
  • posted by よっこたん 
  • URL 
  • 2020.04/12 20:27分 
  • [Edit]

MIUMIU美雨さんへ!! 

頑張て下さいね^^。ドサンコも大変ですが頑張ってまいります。☆x3
  • posted by 荒野鷹虎 
  • URL 
  • 2020.04/12 15:22分 
  • [Edit]

OYAJIさま 

こんばんは。
お久しぶりです。
あはは、ピタゴラス先生は、数学の神様みたいなイメージがあってOYAJIさん程遠いように感じられるかもしれませんが、OYAJIさんとすごい共通点がありますよ!?
ピタゴラスはベジタリアンの元祖で、一日二食で、果物、野菜、穀物、蜂蜜だけで生活していたと言われています。特に、「キャベツは活力と精神の沈着を保つ野菜である」とその薬効を称え、自らの手でピタゴラスキャベツという品種を作り出していたそうです。でも、特に好んでいた野菜はレタスだったそうですよ。
畑でぜひピタゴラキャベツとか、ピタゴラナスとか、OYAJIさん作ってくださいな。^^




あやめさま 

こんばんは。
ずいぶんご無沙汰しておりました。今回もコメントありがとうございます。

> ピタゴラスの偉大さよりも、その整然とした美しさを思いつつ読みました。楽しかったです。

ありがとうございます。^^
仰る通りピタゴラスは数学者、哲学者としても大きな名声を持ちながら人柄も非常に穏やかな方だったといわれていますね。
現実界でも調和のとれた人だったのでしょう。調和をハーモニーといいますが、この言葉もピタゴラスが作ったといわれていますね。^^
音楽と数学、体育はすべてそれがベースとなっているのかもしれませんね。^^

和辻さま 

こんばんは。
暫く留守にしておりましたが、ご心配をおかけし、すみませんでした。
コロナで殺伐とした世の中ですが暖かく迎えていただき、うれしいです。(涙)

和辻先生の記事は歴史ブログに近いけれど、もともと理数系でらしたんですよね?^^

> 音楽もそうですが、世界は数学的に調和されているものが多くそれが人々に安らぎと美しさを与えているのでしょうか?

以前、ピタゴラスイッチで2人1組で行うアルゴリズムがテーマの体操があったのですが1人では意味の無い動きが、2人並ぶと関連性のあるものとなる、とても面白い動作が、まさにそれでした。1/Fの揺らぎが人々に癒しや安らぎをもたらすのも、この規則性と不規則性が起因しているようですが、ピタゴラスはあんな昔からもうそのことを知っていたのでしょうね。

>大学のε-δ論法で挫折

はい、もう少しユークリッと考えれば万物の根源までもアルケーなく追及できたかもですね。!(^^)!
と和ツジックに言ってみます。笑

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  • posted by  
  •  
  • 2020.04/10 21:11分 
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NoTitle 

こんにちは

数学には音楽の要素が、音楽には数学的な美しさがありますよね。ピタゴラスの偉大さよりも、その整然とした美しさを思いつつ読みました。楽しかったです。
  • posted by あやめ 
  • URL 
  • 2020.04/10 16:47分 
  • [Edit]

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  • posted by  
  •  
  • 2020.04/10 15:40分 
  • [Edit]

万歩計、万物の歩けは数? 

美雨様

ようこそ、お帰り!
(なんだかどこかの宗教みたになってしまいましたが)
再び美雨様のBlogが拝見できるようになって嬉しいです。

ピタゴラス、
数学者と言うよりも哲学者と言った方がしっくりくる偉人です。
音楽もそうですが、世界は数学的に調和されているものが多くそれが人々に安らぎと美しさを与えているのでしょうか?

私も受験数学まではなんとかなりましたが、大学のε-δ論法で早くも挫折。大学での数学は哲学ではないかと、匙を投げる羽目になりました。もう少し【ユークリッド】考えれば打開策もあったと悔やまれます。
 Blogにも記載されていますが、数学・音楽・体育は共通する点があるようで、三才の人も居られるとか。私なんぞは未だに三歳レベルですが…。
  • posted by 和辻 
  • URL 
  • 2020.04/10 09:11分 
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  • 2020.04/09 23:20分 
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MIUMIU 美雨

Author:MIUMIU 美雨
旅、歴史、長編ドラマ(短編も)のレビューやエッセイを書いています。
文化系の記事が多いですが、歴史ドラマ(大河ドラマ:八重の桜)や、韓ドラレビューも書きます。中でもソン・イルグクさんの作品が大好きです。
更新はマイペースで続けていきますのでどうぞよろしくお願い致します。

過去記事は画面右上の検索フォームか左下のカテゴリー、早見表で探して下さい。

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